수학시리즈)급수시리즈, 모든 자연수의 네제곱의 합
저번 시간에
를 이용해서 모든 자연수의 역수의 제곱의 합을 증명했다. 답은 6분의 파이제곱이다.
이번시간엔
모둔 자연수의 역수의 네제곱의 합을 증명해 보겠다.
이는 오일러가 증명을 했는데 그는 위 문제를 증명하는 겸사겸사 이를 증명해내었고
곧 '모든 짝수의 네제곱의 합'을 구하는 일반적인 방법을 알아냈고,
그는 모든 자연수의 26제곱의 역수의 합까지 손으로 계산했다.
증명을 해보자. 위식만 있으면 사실 그 다음부터는 매우 간단해진다.
저번엔 x^2의 계수를 비교해 1/n^2의 합을 유도했으니
이번엔 x^4의 계수를 비교해 1/n^4의 합을 유도해보자.
눈치빠른 독자면 눈치 챘을 테지만 사실 이런식으로 하면 x의 짝수승의 계수를 비교하면
모든 짝수의 역수의 제곱을 유도할 수 있다.
어쨋든 위의 식을 어떻게 정리할까?
이렇게 정리할수있다. 요상하게 생긴 기호는 모두 더한다는 뜻이다
즉 1/j^2*k^2을 다 더한다는 뜻이다.
자 이쯤에서 중학교때 배운 곱셈공식을 기억해보자.
이다.
위식에서 2ab가 보이는가?
우리는 저걸 활용해서 1/j^2 * 1/k^2을 유도해 낼것이다.
이렇게 곱셈공식을 적절히 변형해서 위와같은 식을 유도하였다.
이를 처음 식에 적용하면
이 된다.
근데 여기서 우리가 자연수의 제곱의 역수의 합은 이미 알고있다!
따라서
이 된다.
이를 적절히 정리하면
이 된다.
이런 방법으로 자연수의 짝수제곱의 역수의 합은 전부 유도 할 수 있다.
1/n^6의 합은
이다.
이것도 똑같은 방법으로 유도 할 수있으니 시간 많으면 한번 직접 증명해 보길 바란다.
할 일이 없었던 오일러는 1744년
이렇게 26승까지 증명한다.
자 그럼 짝수꼴의 무한합에 대해서는 어떤수든 계산이 가능하다.
반대로 홀수 꼴에서는 어떨까?
가령
에 대해서 말이다.
오일러는 위식의 답을 알아내기 위해 부단히 노력했지만
실패했다.
그럼 현재 알려져있을까?
그 답은
'아직까지 모른다' 이다
현대수학으로는 아직도 풀어내지 못했으니
수학에 관심있거나, 수학자가 될 개붕이가 있다면 한번 도전해 보길 바란다.
푸는 순간 일단 필즈상은 확정일 것이다.
그럼 위의 식은 수렴 할까?
답은 '그렇다'이다.
왜냐하면 1/n^3 은 1/n^2보다 무조건 작다.
그런데 1/n^2 은 수렴한다.
즉 1/n^3의 무한합은 6분의 파이제곱보다 작으니
일단 무한이 아니라 특정 값이 나오는건 맞다.
그럼 1/n^3의 무한합은 유리수일까 무리수일까?
1978년 수학자 아페리가 무리수라는것을 처음으로 증명해내었다.
그렇기 때문에 이 수는 '아페리 상수'라는 이름이 붙었다.
그리고 그 뒤로 풀이는 지지부진하다.
(여담으로 이를 증명하고 얼마나 기쁘셨는지
그걸 자기 무덤 묘비에다 써놓으셨다.)
하지만 현대에는 계산기가 나왔기 때문에 그냥 무작정 더해보는 방법으로 근사값을 알아낼 수 있었다.
대략 1.202056903159594285399738161511449990764986292... 라고 알려져 있다.
그러면 다른 홀수꼴의 무한합은 모두 무리수일까?
'그것도 여전히 모른다'
현재 5승,7승,9승,11승 중에 적어도 하나는 무리수라는게 증명되었다.
이 문제도 개붕이들이 한번 도전해 보길 바란다.
나머지는 다음시간에....